# 曲面（Surfaces）

# 双三次贝塞尔曲面补片（Bicubic Bezier Surface Patch）

可以理解为通过 16 个控制点，得到 4 条贝塞尔曲线。

再通过 4 条贝塞尔曲线，得到一个贝塞尔曲面。

# 网格相关操作

# 网格细分（Mesh subdivision）

把一个三角形拆分成多个小的三角形，并把拆分的三角形进行一定规则的移动。

# Loop Subdivision

# 「Loop Subdivision」细分操作的基本单元必须是三角形，不适用于非三角形的面片。

# 对原有的顶点和新得到的顶点进行不同规则的变换

• 对于新的顶点：这里如果求「白色」顶点的位置。「A，B」是和白点共线的顶点；C，D 是和白点不共线的顶点。这里给出的计算公式如下

$$3/8 \times (A+B) + 1/8 \times (C+D)$$

• 对于旧的顶点：假设顶点的度（顶点上边的数量）为 n 。每个周围顶点的权重 u 。最终的计算公式：

$$(1-n \times u ) \times p_{self} + \sum_{i = 0}^n u \times p_{round-i}$$

# Catmull-Clark Subdivision

# 用于解决多边形下的细分规则。并定义如下几个概念：

• Non-quad face（非四边形面）：顾名思义，非四边形。
• Extraordinary vertex（奇异点）：度数不为 4 的顶点。

对每个非四边形面，得到该面内的「中心点」和各个边的「中点」，然后连接各个「中点」和「中心点」。

# 最终得到的结果：

• 所有的非四边形面全部消失了。
• 新增奇异点的数量与消失的非四边形面的数量相等。

# 顶点更新规则：

• 在四边形面内的点：

$$f = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4}{4}$$

• 在四边形边上的点：

$$f = \frac{v_1 + v_2 + f_1 + f_2}{4}$$

• 四边形各个顶点：

$$v = \frac {f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + 2(m_1 + m_2 + m_3 + m_4) + 4p }{16}$$

# Catmull-Clark 细分效果：

# 网格简化（Mesh simplification）

如何在减小面数的情况下，尽量保持模型的细节。

# 边坍缩（Collapsing An Edge）

主要的内容就是合并两个顶点。那么如何决定合并哪些顶点，便成为了问题的关键。

# 二次度量误差（Quadric Error Metrics）

平均法计算最终顶点时，效果往往不够理想，所以引入了一个新的概念 ——「二次度量误差」。

基本理念：计算出一个点，该点到其他点的距离平方和最小。

• 该值便代表了，坍缩这条边的误差值。
• 每次需要坍缩时，就取误差值最小的边进行坍缩。
• 每次坍缩后，其他和这些点关联的边也会发生变化，需要重新计算误差值。

# 二次度量误差的坍缩效果

# 网格正规化（Mesh regularization）

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