# Animation

# Keyframe Animation

给定了一个动画内几个比较关键的画面，从而推导出整个动画。

# Keyframe Interpolation

可以理解为，每个关键帧上有多个关键点，同一关键点在不同关键字的位置的插值，就能得到中间帧的关键点。

# Keyframe Interpolation of Each Parameter

因此，如何进行插值就是关键帧动画实现的核心。

• Linear interpolation：效果往往不是那么理想。

• Recall splines for smooth /controllable interpolation：追求线条的连续性。

# Physical Simulation

# Physical Based Animation

通过数值的模拟，来生成物体的运动。

$$x^{t + \Delta t} = x^t + \Delta tv^t + \frac{1}{2}(\Delta t)^2 a^t$$

# Mass Spring System

任何的物体都可以视为多个质点和弹簧相互连接的系统。

$$f_{a \to b} = k_s(b-a) \quad \quad f_{b \to a} = - f_{a \to b}$$

# Non-Zero Length Spring

没有弹簧初始长度为 0 ，这里需要定义一个初始长度

$$f_{a \to b} = k_s \frac{b - a}{|| b - a ||}(|| b - a || - l)$$

这里存在一个问题：能量没有消耗，弹簧会一直震动下去。

# Dot Notation for Derviatives

如果 $x$ 是物体本身的位置，那么通常情况下会用 $\dot x$ 来表示速度向量 $v$ ，用 $\ddot x$ 来表示加速度向量 $a$ 。

# Introducing Energy Loss

为了能够使得弹簧停下来，引入一个能量损失。

这个力的目的是为了让物体能够停下来，所以力的方向是速度的反方向，并通过系数 $k_d$ 控制大小。

$$f = -k_d \dot b$$

这样，仍然会有一个问题：能量损失会导致，弹簧即使没有被拉伸，但是存在一个运动速度。最终也会因为能量损失这个问题导致停下来。因此，这个模型没办法很好的模拟弹簧内部的消耗。

# Internal Damping for Spring

引入弹簧的阻尼，用于描述弹簧内部之间作用力的消耗。考虑拉伸的情况下：

• 阻力方向和拉伸方向相反。$-\frac{b-a}{|| b - a ||}$ 。

• 既然速度没办法描述弹簧内部的作用力，那么便引入弹簧两个质点的速度向量差来作为内部作用力。$(\dot b - \dot a)$ 。

• 然后对两者进行点乘投影，由于弹簧阻力方向只在 $a,b$ 质点的连线方向，所以考虑阻力时也需要知道速度差在该方向上的投影值大小。

• 最终，在和阻力方向的单位向量相乘，就能得到最终的阻力向量（有大小，有方向）。

$$f_b = -k_d \frac{b-a}{|| b - a ||} \cdot (\dot b - \dot a) \cdot \frac{b - a}{||b - a||}$$

# 总结

最终，弹簧所受的力就等于：

• 和拉伸长度有关的反向作用力： $f_{a \to b} = k_s \frac{b - a}{|| b - a ||}(|| b - a || - l)$ 。
• 和弹簧本身阻尼有关的损耗阻力：$f_b = -k_d \frac{b-a}{|| b - a ||} \cdot (\dot b - \dot a) \cdot \frac{b - a}{||b - a||}$ 。

# Structures from Springs

通过多个质点和弹簧的模型，就可以模拟各种集合物体。

连接的方式，决定了结构的性质。

如果用如下方式模拟布料，会存在一些问题：

• 沿着对角线拉伸，会使得模型扭曲，并且不会回归远样。但实际情况下，布料并不会出现这种情况。
• 如果沿着对角线对折，也不会受到任何阻力。

增加斜方向的弹簧，解决对角线拉伸问题。但是模型本身兑成了，且依旧没有解决对折问题🤒。

再引入另一个方向上的斜对角弹簧。虽然解决了对角线拉伸和对折，但对于水平或者数值的对折依旧存在问题🤔。

任意一个点和它相隔的点再引出一条连线。这下，模型看上去大致符合常理了😉🎉🎉🎉🎉，但离真正的布料还差的远呢（まだまだです）。

# Aside：FEM（Finite Element Method）Instead of Springs

类型模拟力从一个位置扩散到其他地方的方式，描述物体的运动。

# Particle Systems

用大量微笑的粒子集合来为物理系统进行建模。并且分析每个粒子的受力。

# Particle System Animation

实现粒子系统动画的步骤：

• 生成粒子
• 计算粒子的各种受力
• 根据受力更新粒子的速度
• 粒子销毁
• 渲染粒子

# Particle System Forces

• 引力和斥力
  • 万有引力，电磁力
  • 弹力，推力
• 阻力
  • 摩擦力，粘力， 空间阻力
• 碰撞
  • 墙壁，容器，固定物体
  • 动态对象，角色身体

# Gravitational Attractoion

$$F_g = G \frac{m_1m_2}{d^2} \quad \quad G = 6.67428 \times 10^{-11}Nm^2kg^{-2}$$

# Simulated Flocking as an ODE

例如通过粒子系统，模拟一个鸟群，根据鸟群的特点，总结出如下几个特性。

• attraction：任何单独个体的鸟，都希望能够进入鸟群的中心。

• repulsion：任何单独个体的鸟，有希望和其他同类保持一定的距离。

• alignment：任何单独个体的鸟，都会把偏向和同类一致的运动方向（轨迹）。

# Forward Kinematics

定义人体的运动方式。

• 拓扑结构（通过哪个关键）
• 关节的几何关系
• 树形结构（不含循环）

定义了几种关节的运动模式

• Pin：固定住的关节，只能绕着固定的点进行旋转（1D rotation）。

• Ball：可以发生围绕某个点的旋转（2D rotation）。类似一个球在碗里的旋转。

• Prismatic joint：出了旋转之外，还可以进行一些移动

对一个关键末端求解：

$$p_z = l_1 \cos(\theta_1) + l2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$$

$$p_x = l_1 \sin(\theta_1) + l2 \sin(\theta_1 + \theta_2)$$

# Kinematics Pros and Cons

• 优点
  • 控制直接方便
  • 实现简单
• 缺点
  • 动画效果不一定和物理一致时，该如何控制。
  • 对于艺术家来说需要花费更多时间。

# Inverse Kinematics

并非定义每一个关键位置，最终实现控制末端位置的模式。

而是通过定义末端位置，从而推断出各个关节所需要的方向。

$$\theta_2 = \cos^{-1} \left(\frac{p^2_z + p^2_x - l^2_1 - l^2_2}{2l_1l_2} \right)$$

$$\theta_1 = \frac {-p_zl_2 \sin(\theta_2) + p_x(l_1 + l_2 \cos (\theta_2))} {p_x l_2 \sin(\theta_2) + p_z(l_1 + l_2 \cos (\theta_2))}$$

# Problem

• 逆运动学的解通常并不唯一。

• 或者解压根就不存在。

一种常规的解决办法是：通过类似梯度下降等算法，计算如何调整$\theta_1 ,\theta_2$ 能够让尖端逼近目标点。

# Rigging

定义了如何能够快速的操作角色，实现想要的姿态和效果。
就像木偶上的提线。

# Blend Shapes

定义两个关键位置，中间的状态通过类似插值的方式计算获得。

# Motion Capture

• 通过给真人打上各种关键点。
• 记录真实世界的运动状态。
• 运用到虚拟模型上。

# Motion Data

通过测量获得的一些数据 —— 各个控制点的运动轨迹。

# Motion Capture Pros and Cons

• 好处：
  • 能够快速获得大量的真实数据。
  • 更加的逼真。
• 坏处：
  • 设备复杂且昂贵。
  • 动捕内容无法完全满足艺术家需要，需要后期调整。

# 关键字

• 常微分方程（ordinary differential equation）「ODE」：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称微方程 —— 来源百度百科

# The Production Pipeline

产品的完整流水线。