# Linear Algebra

# 向量（Vectors）

# 向量的表示：

$$\overrightarrow{AB} = B - A = \vec a$$

# 向量的属性：

• 方向： A -> B。表示由 A 点到 B 点的方向。
• 长度：$||\vec a||$。表示 A 点和 B 点的距离。

# 单位向量（normalize）：

长度为 1 的向量被称为单位向量。

$$\hat{a} = \frac{ \vec a }{ ||\vec a|| }$$

# 向量基本操作

# 向量求和

# 笛卡尔坐标下（Cartesian Coordinates）

$$A = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad\quad A^T = (x, y) \quad\quad ||A|| = \sqrt{ x^2 + y^2 }$$

笛卡尔坐标下，向量求和等于对应的元素相加得到的「向量」

$$\vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a + x_b \\ y_a + y_b \end{pmatrix}$$

# 点乘（Dot product）—— 「$\cdot$ 」

两个单位向量的点乘表示两个单位向量夹角的 cos 值

$$\vec a \cdot \vec b == ||\vec a|| ||\vec b|| \cos \theta$$

$$\cos \theta = \frac{\vec a \cdot \vec b} {||\vec a|| ||\vec b||} \quad \to \quad \cos \theta = \hat a \cdot \hat b$$

# 性质：

满足乘法的「交换律」、「分配律」和「结合律」

• $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$
• $\vec a \cdot ( \vec b + \vec c ) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$
• $k \vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot (k \vec b) = k (\vec a \cdot \vec b)$

# 笛卡尔坐标下（Cartesian Coordinates）

笛卡尔坐标下「点乘」等于对应的元素相乘并相加得到的「值」

• In 2D：

$$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b$$

• In 3D：

$$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$$

# 向量的投影：

向量 $\vec b$在 向量 $\vec a$上的投影，记作向量 $\vec b_ \bot$

$$\vec b_ \bot = || \vec b_ \bot || \hat a$$

$$|| \vec b_ \bot || = || \vec b || \cos \theta$$

$$\vec b_ \bot = (|| \vec b ||\cos \theta) \hat a \quad \to \quad \vec b_ \bot = (\vec b \cdot \hat a) \hat a$$

# 判断两个向量是否同向：

两个单位向量的「点乘」结果为 $\cos \theta$ ，可以表示两向量的方向是否接近

# 叉乘（Cross product）—— 「$\times$」

通过两个向量进行「叉乘」，得到垂直于这两个向量的「新向量」。该向量的方向通过「右手螺旋法则」决定：

例如 $\vec a \times \vec b$那么右手四指从 a 指向 b，大拇指所指方向就是新向量方向。

# 三维空间的直角坐标系建立

• $\vec x \times \vec y = + \vec z$：该情况下，符合右手坐标系
• $|| \vec z || = || \vec x || || \vec y || \sin \theta$ ：叉乘的长度等于两个向量长度乘以 $\sin \theta$
• $\vec x \times \vec x = \vec 0$：相同向量叉乘结果为 0 向量，因为 $\sin \theta = 0$

# 符合「分配率」和「结合率」，遵循「逆交换律」

• $\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a$
• $\vec a \times ( \vec b + \vec c )= \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$
• $\vec a \times (k \vec b ) = k( \vec a \times \vec b )$

# 代数计算公式：

$$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_a z_b - y_b z_a \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \end{pmatrix}$$

# 矩阵计算公式（ $A^*$ 表示向量 $\vec a$的伴随矩阵）：

$$\vec a \times \vec b = A^*b = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$$

# 叉乘意义：

• 用于判断统一平面内的两个向量之间的关系

  • 左右关系：

    • 左 —— 逆时针方向
    • 右 —— 顺时针方向
    • 例如下图所示，如果 $\vec a \times \vec b = + \vec z$那么可以认为 $\vec b$在 $\vec a$的左侧，反之则反之。

  • 内外关系：

    • 内 —— 三角形内部
    • 外 —— 三角形外部
    • 例如下图所示，分别计算「三条边」和「三个顶点与 P 点形成的向量」的叉乘，如果三个结果是同向（$± \vec Z$），那么可以判断，点 P 在三角形内部。否则，P 点在三角形外部。
      • $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} = + \vec Z$
      • $\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BP} = + \vec Z$
      • $\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CP} = + \vec Z$

# 向量的其他操作

# 定义一个基本的右手坐标系

$$|| \vec x || = || \vec y || = || \vec z || = 1$$

$$\vec x \cdot \vec y = \vec x \cdot \vec z = \vec y \cdot \vec z = 0$$

$$\vec z = \vec x \cdot \vec y$$

# 将某个向量分解成其他的方向向量

$$\vec p = (\vec p \cdot \hat x)\hat x + (\vec p \cdot \hat y)\hat y + (\vec p \cdot \hat z)\hat z$$

# 矩阵（Matrices）

# 矩阵运算

# 矩阵乘积

矩阵相乘时，只有「前矩阵的行数」等于「后矩阵的列数」，乘积才有意义。

某个位置的：值 = 「该位置前矩阵所在行」点乘「该位置后矩阵所在列」

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & x & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & 12 \end{pmatrix}$$

• 例如 x 号是 第一行、第二列，那么对应的就是：

  $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix} = 1 \times 6 + 3 \times 7 = 27$$

矩阵相乘，最终得到的行列数取决于「前矩阵的列」和「后矩阵的行」：$(M \times N)(N \times P)=(M \times P)$

# 没有任何的「交换律」，但满足「结合律」和「分配律」

• AB ≠ BA

• (AB)C = A(BC)

• A(B+C) = AB +AC

• (A+B)C = AC + BC

# 矩阵变换

• 求镜像

$$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$$

# 矩阵转置

• $(AB)^T = B^TA^T$

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}^T$$

# 单位矩阵

$$I_{3X3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

# 逆矩阵

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

$$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$$

# 伴随矩阵

$$A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} , adj(A) = \begin{pmatrix} d & -b\\ c & a \end{pmatrix}$$

用的不多，具体细节见 wiki: 传送门

# 矩阵形式的向量乘法

• 点乘：

$$\vec a \cdot \vec b = \vec a^T \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b\\ \end{pmatrix} =(x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b)$$

• 叉乘（ $A^*$ 表示向量 $\vec a$的伴随矩阵）

$$\vec a \times \vec b = A^* b = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_a z_b - y_b z_a \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \end{pmatrix}$$

# 关键字

• 点乘
• 叉乘