# 曲线（Curves）

# 贝塞尔曲线（Bezier Curves）

# 德卡斯特利亚算法（Casteljau Algorithm）

假定绘制一条曲线所需三个点 $b_0,b_1,b_2$。曲线的起点为 0 终点 为 1，那么 t 位置处的点如何求得：

• 只需要求 $b_ob_1$ 和 $b_1b_2$ 的比例 $t$ 位置的点 $b_0^1,b_1^1$。
• 再计算 $b_0^1b_1^1$ 比例 $t$ 位置的点 $b_0^2$。
• $b_0^2$ 便是 t 位置处的点。

$$b_0^1(t) = (1-t)b_0 + tb_1$$

$$b_1^1(t) = (1-t)b_1 + tb_2$$

$$b_0^2(t) = (1-t)b_0^1 + tb_1^1$$

$$b_0^2(t) = (1-t)^2b_0 + 2t(1-t)b_1 + t^2b_2$$

可以得到 n 个顶点的通用计算公式，该多项式就是 $b_{0 \to n} \text{各项}$ 与「伯恩斯坦多项式」的乘积求和。

$$b^n(t) = b_0^n(t) = \sum_{j=0}^{n}b_jB_j^n(t)$$

# 伯恩斯坦多项式（Bernstein Polynomials）：

$$B_j^n(t) = \begin{pmatrix} n \\ i \\ \end{pmatrix} t^i (1-t)^{n-i}$$

# 贝塞尔曲线的性质

• 「仿射变换」下，不论是先对顶点进行变换，再绘制曲线；还是先绘制曲线，再进行仿射变换，最终结果一致

• 凸包性质：任何贝塞尔曲线内的点，都在形成贝塞尔曲线顶点组成的凸包内。

# 分段贝塞尔曲线（Piecewise Bezier Curves）

由于贝塞尔曲线的每个点，对于整条曲线都会有所影响，想要调整曲线的效果就会变得很麻烦，所以引入了「分段」这个概念。

• 通过多个贝塞尔曲线拼接而成。
• 每个贝塞尔曲线由四个点控制。

# 曲线的连续性

# $C^0$ 连续：两条曲线都过同一个点。

# $C^1$ 连续：两条曲线都过同一个点。且该点左右两边的切线连续（异界导出相同，长度相同）。

# $C^n$ 连续：pass

扩展视频 —— 如何设计一个逼真的三维模型

# 关键字

• 凸包（Convex）：用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。