# Transformation Cont

# 三维空间下的变换（3D Transformations）

# 三维空间下的向量和点

• 3D vector = $(x,y,z,0)^T$

• 3D point = $(x,y,z,1)^T$

向量和点的定义和二维空间类似。

# 三维空间下的齐次坐标矩阵

$$\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$$

# Scale

$$S(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

# Translation

$$T(t_x, t_y, t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

# 绕轴旋转

默认情况下都是绕着某个轴，逆时针旋转。

绕 X 轴旋转的情况下，x 坐标是不变的，所以，第一行和第一列不受影响

$$\text{绕 x 轴 旋转:} \quad R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

绕 Y 轴旋转的情况下，y 坐标是不变的，所以，第二行和第二列不受影响

$$\text{绕 y 轴 旋转:} \quad R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

绕 Z 轴旋转的情况下，z 坐标是不变的，所以，第三行和第三列不受影响

$$\text{绕 z 轴 旋转:} \quad R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

# 为什么 $R_y$ 看起来是反的？

因为 x，y，z 之前的循环对称关系，导致，其中总会有一组坐标的相乘是反向的。

$$\hat x \times \hat y = \hat z$$

$$\hat y \times \hat z = \hat x$$

$$\hat z \times \hat x = - \hat y$$

$$\hat x \times \hat z = \hat y$$

# 3D 旋转

$$\text{欧拉角(Euler angles):} \quad R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma) = R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$$

# 观测变换（Viewing transformation）

• Model（模型）transformation：把场景的物体摆放好
• View（视图）/ Camera transformation：把摄像机放在一个合适的位置
• Projection（投影）
  • Orthographic（正交）
  • Perspective（透视）

# 视图📷

• Position： $\vec e$
• Look-at / gaze direction：$\vec g$
• Up direction：$\vec t$

# 观察的关键

• 相机和物体的距离
• 相机的角度

只要保证上述两点，不论何地，最终的画面就不会改变。所以通常情况下，会把相机放在「原点坐标」。

# 如何把相机移动到原点，且 $\vec g = -\vec z$

$$M_{view} = R_{view} \cdot T_{view}$$

• 把相机移动到原点

$$T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• 把 $\vec g$ 旋转到 $-\vec z$，把 $\vec t$旋转到 $\vec y$， 然后通过 $\vec g \times \vec t$得到 $\vec x$

  • 可以简化成从正常的坐标系，旋转得到相机的坐标系，然后把旋转角度取反。

$$\text{假设:} \quad M_{view} = \begin{bmatrix} x_{\vec g \times \vec t} & x_t & x_{-g}\\ y_{\vec g \times \vec t} & y_t & y_{-g}\\ z_{\vec g \times \vec t} & z_t & z_{-g} \end{bmatrix}$$

$$\hat x_{view} = \begin{bmatrix} x_{\vec g \times \vec t}\\ y_{\vec g \times \vec t}\\ z_{\vec g \times \vec t}\\ 0 \end{bmatrix} ,\quad \hat y_{view} = \begin{bmatrix} x_t\\ y_t\\ z_t\\ 0 \end{bmatrix} ,\quad \hat z_{view} = \begin{bmatrix} x_{-g}\\ y_{-g}\\ z_{-g}\\ 0 \end{bmatrix}$$

• 如何把正常的坐标向量转化为 $M_{view}$ 的坐标向量呢？

$$\text{正常的坐标矩阵:} \quad M_{normal} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$\hat x_{normal} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} ,\quad \hat y_{normal} = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} ,\quad \hat z_{normal} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$$

$$R \cdot \hat x_{normal} = \hat x_{view} ,\quad R \cdot \hat y_{normal} = \hat y_{view} ,\quad R \cdot \hat z_{normal} = \hat z_{view}$$

• 通过上述公式，可以把 R 的矩阵求出来。那么从正常坐标向量变换到摄像机的坐标向量的矩阵就可以求得（${R_{view}}^{-1}$）

$${R_{view}}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{\vec g \times \vec t} & x_t & x_{-g} & 0\\ y_{\vec g \times \vec t} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\vec g \times \vec t} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• 然后再对 ${R_{view}}^{-1}$ 取逆矩阵，就可以得到，从摄像机坐标变换到正常世界坐标的矩阵（$R_{view}$）

$$R_{view} = \begin{bmatrix} x_{\vec g \times \vec t} & y_{\vec g \times \vec t} & z_{\vec g \times \vec t} & 0\\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

# Projection📽

# 正交（Orthographic）投影

• 相机 lookat： $-\vec z$，up：$\vec y$

• Z 坐标就可以丢弃了～🙌

  • 如何区分前后呢❓

• 不论 x，y 有多大，全部变换到 ${[-1, 1]}^{2}$ 的平面上

  • 方便后续对不同分辨率大小进行适配。

# 正交投影也可以被看作是一个立方体：

# 一般情况下正则化（canonical）立方体的做法

将一个任意的长方体，转换为一个标准的正方体。

• 把长方体定义成一个 x，y，z 坐标上的范围 $x:[l,r],\quad y:[b, t],\quad z:[f, n]$

$$Cube = \begin{bmatrix} l & r \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b & t \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} f & n \end{bmatrix}$$

• Translate:

$${M_{ortho}}^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot M_{ortho}$$

• Scale:

$${M_{ortho}}^{\prime\prime} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot {M_{ortho}}^{\prime}$$

# 透视（Perspective）投影

• 如何表示透视投影下的坐标点：任意三维坐标都可以转为$(xz , yz , z^2 , z!=0)$
  • 远处的物体，投影到近处以后，大小会随着 Z 的变化而变化 $(1,0,0,1) = (2,0,0,2)$

$$(x , y , z , 1) \quad \to \quad (kx , ky , kz , k!=0) \quad \to \quad (xz , yz , z^2 , z!=0)$$

# 透视投影则更像是一个四棱台：

对透视投影通常可以看作是把远平面变换成近屏幕的大小，在对其做正交投影

• 挤压的两个特性：
  • 远平面的挤压，不会修改 z 的值。
  • 远平面的中心点在挤压和不挤压，都位于远平面的中心。

• 变换远平面大小：

$$y^{\prime} = \frac{n}{z}y ,\quad x^{\prime} = \frac{n}{z}x$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \quad \implies \quad \begin{pmatrix} \frac{nx}{z} \\ \frac{ny}{z} \\ unknow \\ 1 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknow \\ z \end{pmatrix}$$

• 通过变换前后的坐标点，可以算出变换矩阵:

$$M_{persp->ortho} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknow \\ z \end{pmatrix} \quad \to \quad M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

• 推断第三行的值：

$$\text{设 z = n,} \quad \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ nz \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknow \\ z \end{pmatrix} \quad \implies \quad unknow=n^2 ,\quad \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix}$$

$$n^2= (?,?,?,?) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} \text{，与x，y无关} \quad \to \quad (?,?,?,?) = (0,0,?_1,?_2) \quad \to \quad ?_1n + ?_2 = n^2$$

• 平面的中心点在挤压和不挤压，都位于平面的中心
  • 所以 $(0,0,n,1)=(0,0,n^2,n)$，近点挤压后依旧是近点
  • 所以 $(0,0,f,1)=(0,0,f^2,f)$，远点挤压后依旧是远点（这里假设远平面距离$f = z$）
  • 最终的结果就是：先挤压 $M_{persp->ortho}$ 再平移，再缩放 $M_{ortho}$，最终得到透视投影

$$?_1n + ?_2 = n^2 ,\quad ?_1f + ?_2 = f^2 \quad \implies \quad ?_1 = n + f ,\quad ?_2 = -nf$$

$$\text{最终矩阵结果:}\quad M_{presp} = M_{ortho}M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$